[2015년 대진고]

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[2학년(문과) 1학기 중간]

다음 중 수렴하는 값이 다른 수열은? [4.0점]

①

① [eqn: 2,``` {2} over {3} ,``` {2} over {5} ,``` CDOTS ,```` {2} over {2n-1} ,```` CDOTS]
② [eqn: 2- {1} over {2} ,````2- {1} over {4} ,````2- {1} over {8} ,```` CDOTS ,````2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ,```` CDOTS]
③ [eqn: 1,```1+ {1} over {2} ,````1+ {2} over {3} ,```` CDOTS ,````1+ {n-1} over {n} ,```` CDOTS]
④ [eqn: 2+ {1} over {2} ,````2- {1} over {3} ,````2+ {1} over {4} ,```` CDOTS ,````2+ {(-1) ^{n+1}} over {n+1} ,```` CDOTS]
⑤ [eqn: sqrt {5} ,``` {sqrt {17}} over {2} ,```` {sqrt {37}} over {3} ,```` CDOTS ,```` {sqrt {4n ^{2} +1}} over {n} ,```` CDOTS]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =4], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} =5]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (3a _{n} -2b _{n} )]의 값은? [4.0점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 22]

[eqn: lim _{n -> -1} {{x ^{2} -4x-5} over {x+1}}]의 극한값은? [4.0점]

①

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

다음 중 함수와 도함수가 올바르게 짝지어진 것은? [4.0점]

④

	[eqn: f(x)]	[eqn: f` prime (x)]
①	[eqn: x ^{2`} -2x]	[eqn: x-2]
②	[eqn: 3x+1]	[eqn: 3x]
③	[eqn: -x ^{2} +3x]	[eqn: 2x-3]
④	[eqn: (x ^{2} +3x)(2x-1)]	[eqn: 6x ^{2} +10x-3]
⑤	[eqn: (-x ^{2} +1)(x ^{2} -3x)]	[eqn: -4x ^{3} +6x ^{2} +2x-3]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} -x+a} over {x-2} `&```(x != 2)#`b&```(x=2)}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: b-a]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: -5]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(-2)=0], [eqn: f(-1)= {1} over {2}], [eqn: f(0)=2], [eqn: f(1)=-1], [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=-4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=0]은 열린 구간 [eqn: (-2,```3)]에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는가? [4.1점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등비급수 [eqn: 1-2x+4x ^{2`} -8x ^{3} + CDOTS]가 수렴하도록 하는 실수 [eqn: x]의 값의 범위는? [4.2점]

③

① [eqn: -1<x<1]	② [eqn: -1<x LEQ 1]
③ [eqn: - {1} over {2} <x< {1} over {2}]	④ [eqn: - {1} over {2} LEQ x< {1} over {2}]
⑤ [eqn: - {1} over {2} <x LEQ {1} over {2}]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -5x+4]에 대하여 [eqn: lim _{h-> 0} {{f(1+3h)-f(1)} over {2h} =0}]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n(n+1)}]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 수렴하고 [eqn: lim _{n-> INF } {(a _{n} +2)=5}]일 때,
[eqn: lim _{n-> INF } {{2a _{n+1} -k} over {a _{2n} -2k} =-1}]이다. 이때 상수 [eqn: k]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

아래 그림은 정의역이 [eqn: LEFT { x`|`-2 LEQ x LEQ 3 RIGHT }]인 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. 함수 [eqn: g(x)=x ^{2}]에 대하여
[eqn: lim _{x-> -1+} {f(g(x))+ lim _{x-> -1-} {g(f(x))}}]
의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 2n-1< {1} over {na _{n}} < sqrt {4n ^{2} +3n}]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( {1} over {3} n ^{2} +1 RIGHT ) a _{n}}]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {1} over {10}]

수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (5na _{n} -2)=1]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{n(n+1)a _{n}} over {2n+1}}]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim _{x -> INF } {{f(x)} over {x ^{3} +5} = {1} over {2}], [eqn: lim _{x -> -2} {{f(x)} over {x+2} =6], [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1} =p]
일 때, 실수 [eqn: p]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: -3]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

아래 그림과 같이 길이가 [eqn: 3]인 선분 [eqn: rmAB _{ 1}]을 지름으로 하는 원 [eqn: C_{ 1}]이 있다. 선분 [eqn: rmAB _{ 1}]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmAB _{2}]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C_{ 2}]라고 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여 원을 그릴 때, 모든 원의 둘레의 길이의 합은? [4.9점]

④

① [eqn: 6pi]	② [eqn: 7pi]	③ [eqn: 8pi]

④ [eqn: 9pi]	⑤ [eqn: 10 pi]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 세 조건을 만족할 때, [eqn: f(28)]의 값은? [4.9점]

③

(가) [eqn: f(x)= {cases{x+k````````````&(0 LEQ x<4)#(x-5) ^{2} +4````````&(4 LEQ x LEQ 5)}}]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(5-x)=f(5+x)]

(다) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형

수열 [eqn: LEFT { {r ^{n-1} +r ^{n}} over {r ^{n} +2} RIGHT }]의 수렴, 발산을 조사하는 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: -1 LEQ r<1]일 때 [eqn: 0]으로 수렴,
[eqn: r=1]일 때 [eqn: {2} over {3}]으로 수렴,
[eqn: r<`-1]이고 [eqn: r>1]일 때 [eqn: {1} over {r} +1]에 수렴

함수 [eqn: f(x)= {cases{ax ^{2} +x&(x<`-1)#x ^{2} +2x+b````````````&(x GEQ -1)}}]이 [eqn: x=-1]에서 미분가능할 때, [eqn: 10a+2b]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [10.0점]

[eqn: 6]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)=x ^{k} + {x ^{k}} over {x ^{2} +1} + {x ^{k}} over {(x ^{2} +1) ^{2}} + CDOTS]
에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 연속이 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: a], 불연속이 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 최댓값을 [eqn: b], 이 때 불연속이 되는 [eqn: x]의 값을 [eqn: c]라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 5] [eqn: (a=3,```b=2,```c=0)]

[2015년 대진고]

[2학년(문과) 1학기 중간]

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